回顾了下PCA的步骤，并用python实现。深刻的发现当年学的特征值、特征向量好强大。
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PCA是一种无监督的学习方式，是一种很常用的降维方法。在数据信息损失最小的情况下，将数据的特征数量由n，通过映射到另一个空间的方式，变为k(kn)。
这里用一个2维的数据来说明PCA，选择2维的数据是因为2维的比较容易画图。
这是数据：
画个图看看分布情况：
协方差的定义为：
假设n为数据的特征数，那么协方差矩阵M, 为一个n n的矩阵，其中Mij为第i和第j个特征的协方差，对角线是各个特征的方差。
在我们的数据中，n=2，所以协方差矩阵是2 2的，
通过numpy我们可以很方便的得到：
得到cov的结果为：
array([[ 0.61655556, 0.61544444],
[ 0.61544444, 0.71655556]])
由于我们之前已经做过normalization，因此对于我们来说，
这个矩阵就是 data*data的转置矩阵。
得到结果：
matrix([[ 5.549, 5.539],
[ 5.539, 6.449]])
我们发现，其实协方差矩阵和散度矩阵关系密切，散度矩阵 就是协方差矩阵乘以（总数据量-1）。因此他们的 特征根 和 特征向量 是一样的。这里值得注意的一点就是，散度矩阵是 SVD奇异值分解 的一步，因此PCA和SVD是有很大联系的，他们的关系这里就不详细谈了，以后有机会再写下。
用numpy计算特征根和特征向量很简单，
但是他们代表的意义非常有意思，让我们将特征向量加到我们原来的图里：
其中红线就是特征向量。有几点值得注意：
蓝色的三角形就是经过坐标变换后得到的新点，其实他就是红色原点投影到红线、蓝线形成的。
得到特征值和特征向量之后，我们可以根据 特征值 的大小，从大到小的选择K个特征值对应的特征向量。
这个用python的实现也很简单：
从eig_pairs选取前k个特征向量就行。这里，我们只有两个特征向量，选一个最大的。
主要将原来的数据乘以经过筛选的特征向量组成的特征矩阵之后，就可以得到新的数据了。
output：
数据果然变成了一维的数据。
最后我们通过画图来理解下数据经过PCA到底发生了什么。
绿色的五角星是PCA处理过后得到的一维数据，为了能跟以前的图对比，将他们的高度定位1.2，其实就是红色圆点投影到蓝色线之后形成的点。这就是PCA,通过选择特征根向量，形成新的坐标系，然后数据投影到这个新的坐标系，在尽可能少的丢失信息的基础上实现降维。
通过上述几步的处理，我们简单的实现了PCA第一个2维数据的处理，但是原理就是这样，我们可以很轻易的就依此实现多维的。
用sklearn的PCA与我们的pca做个比较：
得到结果：
用我们的pca试试
得到结果：
完全一致，完美~
值得一提的是，sklearn中PCA的实现，用了部分SVD的结果，果然他们因缘匪浅。
一般步骤来实现PCA算法
（1）零均值化
假如原始数据集为矩阵dataMat，dataMat中每一行代表一个样本，每一列代表同一个特征。零均值化就是求每一列的平均值，然后该列上的所有数都减去这个均值。也就是说，这里零均值化是对每一个特征而言的，零均值化都，每个特征的均值变成0。实现代码如下：
[python] view plain copy
def zeroMean(dataMat):
meanVal=np.mean(dataMat,axis=0) #按列求均值，即求各个特征的均值
newData=dataMat-meanVal
return newData,meanVal
函数中用numpy中的mean方法来求均值，axis=0表示按列求均值。
该函数返回两个变量，newData是零均值化后的数据，meanVal是每个特征的均值，是给后面重构数据用的。
（2）求协方差矩阵
[python] view plain copy
newData,meanVal=zeroMean(dataMat)
covMat=np.cov(newData,rowvar=0)
numpy中的cov函数用于求协方差矩阵，参数rowvar很重要！若rowvar=0，说明传入的数据一行代表一个样本，若非0，说明传入的数据一列代表一个样本。因为newData每一行代表一个样本，所以将rowvar设置为0。
covMat即所求的协方差矩阵。
（3）求特征值、特征矩阵
调用numpy中的线性代数模块linalg中的eig函数，可以直接由covMat求得特征值和特征向量：
[python] view plain copy
eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))
eigVals存放特征值，行向量。
eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量。
特征值和特征向量是一一对应的
（4）保留主要的成分[即保留值比较大的前n个特征]
第三步得到了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，我们可以对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征向量就是我们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect。将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据。代码如下：
[python] view plain copy
eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序
n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标
n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量
lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据
reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据
return lowDDataMat,reconMat
代码中有几点要说明一下，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标。【python里面，list[a:b:c]代表从下标a开始到b，步长为c。】
首先2个包：
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
然后一个m x n 的矩阵，n为维度，这里设为x。
n_components = 12 是自己可以设的。
pca = PCA(n_components=12)
pca.fit(x)
PCA(copy=True, iterated_power='auto', n_components=12, random_state=None,
svd_solver='auto', tol=0.0, whiten=False)
float_formatter = lambda x: "%.2f" % x
np.set_printoptions(formatter={'float_kind':float_formatter})
print 'explained variance ratio:'
print pca.explained_variance_ratio_
print 'cumulative sum:'
print pca.explained_variance_ratio_.cumsum()
重庆分公司
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