python实现kalman滤波的方法

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卡尔曼滤波的本质是对最小二乘法的迭代运算，可以给出时间序列的状态估计。假设其要估计的过程如下：

x[k+1] = A[k]*x[k] + B*u[k] + w[k]  // 状态方程
z[k] = H[k]*x[k] + v[k]             // 测量值
p(w) ~ N(0, Q)
p(v) ~ N(0, R)

其中w和v代表满足正态分布的噪音项，该正态分布均值为0，协方差矩阵分别为Q和R。u代表对x的控制项，z代表测量值，k+1和k代表不同时刻的值。A，B，H分别为相应的关联矩阵。卡尔曼滤波将该过程的预测值分为两部分，一是通过模型对先验值的推断，称为时间更新；二是通过测量值进行修正，称为测量更新。其核心方程为：

// 时间更新
xb[k+1] = A[k]*x[k] + B*u[k]
Pb[k+1] = A[k]*P[k]*transverse(A[k]) + Q[k]
// 测量更新
K[k] = Pb[k]*transverse(H[k])*inverse(H[k]*Pb[k]*transverse(H[k])+R[k])
x[k] = xb[k] + K*(z[k] - H[k]*xb[k])
P[k] = (I - K[k]*H[k])*Pb[k]

其中xb为状态先验估计值，Pb为先验误差协方差矩阵，P为后验误差协方差矩阵。在每次时间更新中，利用前一个后验估计值给出下一时刻的先验估计值xb，并给出下一个时刻的先验误差协方差估计。在每次测量更新中，先计算出卡尔曼增益K，然后利用测量值z和先验估计值xb计算出当前的后验估计值x，最后再给出当前的后验误差协方差估计。

这两个更新过程融合了先验估计（从过去的数据和模型推断的系统状态）和可能存在噪音的测量值，从而给出了系统最有可能的状态（分布）。该方法的优点在于，在测量和控制都不够精确的情况下，给出结合二者数据的最佳估计。下面给出简单的python代码及运行结果供参考。

import numpy

class Kalman_Filter:
    def __init__(self, A, H, Q, R, z, B = None, impulse = None):
        self._A = A
        self._H = H
        self._Q = Q
        self._R = R
        self._z = z

        self.m = len(z)
        self.n = len(z[0])
        self._identity = numpy.ones([self.n, self.n])

        if (B is None):
            self._B = numpy.zeros([self.n, self.n])
        else:
            self._B = B
        if (impulse is None):
            self._impulse = numpy.zeros([self.m, self.n])
        else:
            self._impulse = impulse

    def __del__(self):
        return

    def _kalman(self, xb, Pb, z, impulse):
        # 测量更新
        tmp = numpy.matmul(Pb, self._H.T)
        K = numpy.matmul(tmp, numpy.linalg.inv(numpy.matmul(self._H, tmp) + self._R))
        x = xb + numpy.matmul(K, (z - numpy.matmul(self._H, xb)))
        P = numpy.matmul((self._identity - numpy.matmul(K, self._H)), Pb)
        # 时间更新
        xb = numpy.matmul(self._A, x) + numpy.matmul(self._B, impulse)
        Pb = numpy.matmul(numpy.matmul(self._A, P), self._A.T) + self._Q
        return x, xb, Pb

    def _kalman1d(self, xb, Pb, z, impulse):
        # 测量更新
        tmp = Pb*self._H
        K = tmp/(self._H*tmp + self._R)
        x = xb + K*(z - self._H*xb)
        P = (1 - K*self._H)*Pb
        # 时间更新
        xb = self._A*x + self._B*impulse
        Pb = self._A*P*self._A + self._Q
        return x, xb, Pb

    def get_filtered_data(self, xb, Pb):
        xx = []
        for i in range(0, self.m):
            if (self.n == 1):
                (x, xb, Pb) = self._kalman1d(xb, Pb, self._z[i], self._impulse[i])
            else:
                (x, xb, Pb) = self._kalman(xb, Pb, self._z[i], self._impulse[i])
            xx.append(x)
        return xx



# =========== test ===============
import matplotlib.pyplot

t = numpy.linspace(0,10,100)   # 横坐标，时间
# ================= 2d ==================
A = numpy.array([[1,0.1], [0,1]])
H = numpy.array([[1,0],[0,1]])
Q = 0.5*numpy.array([[1,0],[0,1]])
R = 0.5*numpy.array([[1,0],[0,1]])
noise = numpy.random.randn(2, 100)
real = numpy.vstack((10*numpy.sin(t), 10*numpy.cos(t)))   # 真实值
z = real + noise   # 测量值
kf = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T)
xb = numpy.array([0,10])
Pb = numpy.array([[1,0],[0,1]])
x = kf.get_filtered_data(xb, Pb)

fig = matplotlib.pyplot.figure(figsize=(10.24,7.68))
matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')
matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')
matplotlib.pyplot.plot(t, x, 'b')
matplotlib.pyplot.show()

# =================== 1d =================
A = 1
H = 1
Q = 0.5
R = 0.5
B = -1     # 根据反馈进行修正
noise = numpy.random.randn(1, 100)
real = 10*numpy.exp(-t*t)
z = real + noise
kf1 = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T)   # 不加反馈
kf2 = Kalman_Filter(A, H, Q, R, z.T, B, noise.T)   # 反馈修正
xb = 10
Pb = 1
x1 = kf1.get_filtered_data(xb, Pb)
x2 = kf2.get_filtered_data(xb, Pb)

fig = matplotlib.pyplot.figure(figsize=(10.24,7.68))
matplotlib.pyplot.subplot(3,1,1)  # 下面画第一个图，不带反馈修正
matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')
matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')
matplotlib.pyplot.plot(t, x1, 'b')
matplotlib.pyplot.subplot(3,1,2)    # 下面画第二个图，带反馈修正
matplotlib.pyplot.plot(t, z.T, 'r')
matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')
matplotlib.pyplot.plot(t, x2, 'b')
matplotlib.pyplot.subplot(3,1,3)     # 下面画第三个图，比较带反馈和不带反馈的结果
matplotlib.pyplot.plot(t, x1, 'r')
matplotlib.pyplot.plot(t, real.T, 'g')
matplotlib.pyplot.plot(t, x2, 'b')
matplotlib.pyplot.show()

计算结果如下。可以看到，在大部分情况下，蓝线（Kalman滤波结果）要比红线（测量值）更加接近绿线（真实值）。在第二个图中，对比了加入外部反馈以根据测量结果进行修正和不加的情况。可以看到，增加反馈后在某些较大的值处给出比较好的结果，在0点附近震荡更加均匀。但反馈无法在所有位置都改善结果。

感谢各位的阅读，以上就是“python实现kalman滤波的方法”的内容了，经过本文的学习后，相信大家对python实现kalman滤波的方法这一问题有了更深刻的体会，具体使用情况还需要大家实践验证。这里是创新互联，小编将为大家推送更多相关知识点的文章，欢迎关注！